## 模型解决的问题 1973年之前，期权定价没有统一方法。交易员之间无法分辨分歧来自对波动幅度的判断、对利率的假设、还是纯粹拍脑袋。**Black-Scholes 模型把期权定价从主观判断变成了一个只依赖五个可观察输入的函数。** ## 五个输入 |符号|含义|性质| |---|---|---| |$S$|标的资产当前价格|直接可观察| |$K$|行权价（合约签订时固定）|直接可观察| |$T$|距到期日剩余时间|直接可观察| |$r$|无风险利率（资金的时间成本）|直接可观察| |$\sigma$|标的资产波动率|**不可直接观察，必须估计或反推**| 前四个从市场上直接读到，唯独 $\sigma$ 是关于未来的量。正是这个输入让模型从定价公式变成语言体系。 ## 公式结构与直觉 看涨期权（call）的 Black-Scholes 公式： $C = S \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)$ $d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2) \cdot T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$ $N(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数（CDF）。 ### 拆解 - **$S \cdot N(d_1)$**："得到"的部分。期权到期时处于实值状态的情景下，**经资产价格加权**的预期收益。$N(d_1)$ 不是简单概率，而是价格加权概率——深度实值和刚好实值对持有者的价值天差地别。 - **$K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)$**："付出"的部分。$K \cdot e^{-rT}$ 是行权价的现值，$N(d_2)$ 是期权到期时处于实值状态的实际概率（风险中性测度下）。 - **期权价值 = 预期得到 − 预期付出。** ### $d_1$, $d_2$ 的逐项拆解 $d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2) \cdot T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$ 整个结构是一个 **z-score**：分子是"信号"（当前位置 + 预期漂移），分母是"噪声"（波动幅度）。$d$ 值衡量的是：**在噪声的尺度下，信号有多强。** #### $\ln(S/K)$：当前价格相对行权价的对数距离 用 $\ln(S/K)$ 而不是 $S - K$ 或 $S/K$，原因在于模型假设价格服从**几何布朗运动**——价格的对数（而非价格本身）做随机游走。在对数空间中，$\ln(S/K)$ 衡量的是当前价格离行权价有多少个"对数单位"。 - $S = K$ 时 $\ln(S/K) = 0$：平值（at the money），无初始优势 - $S > K$ 时 $\ln(S/K) > 0$：实值（in the money），起点已经领先 - $S < K$ 时 $\ln(S/K) < 0$：虚值（out of the money），起点落后 对数距离有一个关键性质：**它对称地处理涨跌。** $S$ 从100涨到200和从100跌到50，在对数空间中距离相同（都是 $\ln 2 \approx 0.693$）。这与现实吻合——一只股票翻倍和腰斩是等量级的事件。 #### $(r + \sigma^2/2) \cdot T$：漂移项 这一项代表在剩余时间 $T$ 内，对数价格预期向上偏移的累积量。它由两部分组成： **$r \cdot T$** 来自无风险利率。在风险中性测度下，资产价格的预期增长率等于无风险利率——不是因为资产"应该"涨这么多，而是因为风险中性定价的数学要求：如果资产预期增长率不等于 $r$，就存在套利机会。所以 $r \cdot T$ 是"在数学框架要求下，对数价格在 $T$ 时间内预期漂移的量"。 **$\sigma^2/2 \cdot T$** 的出现更微妙。这是**伊藤引理 (Itô's lemma)** 的结果——一个随机微积分中的核心定理。几何布朗运动假设的是 $S$（价格）的动态，但 $d_1$ 的分子需要的是 $\ln S$（对数价格）的动态。从 $S$ 到 $\ln S$ 的转换中，由于波动率的存在，会产生一个 $-\sigma^2/2$ 的修正项（因为对数函数是凹的，价格的波动在取对数后平均效果偏下）。但在 $d_1$ 的构造中，这个修正项以正号出现（变成 $+\sigma^2/2$），因为 $d_1$ 对应的是**资产价格加权后的概率**（即在 $S$ 的测度下而非风险中性测度下）。 直觉层面：**波动率本身会推高期权到期时处于实值的"资产加权概率"**。即使价格的平均对数增长率不变，更大的波动意味着价格分布的右尾更胖，而右尾正是看涨期权赚钱的区域。$\sigma^2/2$ 捕捉的就是这个效应。 #### $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$：两种概率的差异 $d_1$ 和 $d_2$ 之间恰好差一个 $\sigma\sqrt{T}$，这不是巧合，而是两种不同概率测度的直接体现。 - **$N(d_2)$** 是在**风险中性测度**下期权到期时 $S_T > K$ 的概率——"期权会不会到期在实值？" - **$N(d_1)$** 是在**资产价格加权测度**下的对应概率——"到期在实值的那些情景里，收益按资产价格加权后有多大？" $d_1$ 比 $d_2$ 大 $\sigma\sqrt{T}$，意味着 $N(d_1) > N(d_2)$。差距来源：**在价格加权的视角下，高价格的情景（也就是期权深度实值的情景）被放大了权重。** 波动率越大或时间越长（$\sigma\sqrt{T}$ 越大），这种加权效应越显著。 极端情况检验： - 当 $\sigma \to 0$（无波动）：$d_1 = d_2$，两种概率合并，期权价值退化为确定性折现 - 当 $T \to 0$（即将到期）：$\sigma\sqrt{T} \to 0$，$d_1 \to d_2$，期权价值收敛到内在价值 $\max(S-K, 0)$ #### 整体读法 $d_1$, $d_2$ 本质上在问：**标的价格与行权价的距离，以"一个标准差的波动幅度"为单位衡量，有多远？** - $d_2 \gg 0$：价格远在行权价之上，$N(d_2) \to 1$，几乎确定实值到期 - $d_2 \ll 0$：$N(d_2) \to 0$，几乎确定到期无价值 ### $\sigma\sqrt{T}$：平方根法则 > 想象醉汉在一条线上随机走，每步等概率左或右。走1步离起点平均1步，走4步离起点平均 $\sqrt{4}=2$ 步，走100步离起点平均10步。独立随机波动按时间的平方根缩放，不是线性缩放。 $\sigma\sqrt{T}$ 把年化波动率 $\sigma$ 缩放到实际剩余时间窗口。同理，年化转日化除以 $\sqrt{252}$（约252个交易日/年）。 ## 模型假设与真正用途 核心假设（现实中不成立）： - 价格遵循**几何布朗运动 (GBM)**——对数收益率正态分布，$\sigma$ 恒定 - 无交易成本、无套利、可连续交易、资产无限细分 现实中价格分布有**肥尾**，波动率自身剧烈波动，连续对冲不可能。 **模型的价值不在于假设成立，而在于它提供了标准化的翻译层——一个所有人都能计算和沟通的共同基准。** 类比牛顿力学中的质点、无摩擦平面、刚体。 ## 隐含波动率：逆向使用模型 正向：五个输入 → 理论价格。 逆向：已知市场价格 + 前四个输入 → **反推 $\sigma$ 使公式输出等于市场价格** → 这个 $\sigma$ 就是 **implied volatility（隐含波动率）**。 数学保证：$C = f(S,K,T,r,\sigma)$ 关于 $\sigma$ **严格单调递增**（波动率越高期权越贵），所以反函数**存在且唯一**。无解析形式，但牛顿法等数值方法毫秒级求解。 **隐含波动率剥除所有机械性因素，留下一个纯粹的数字：市场对未来波动幅度的集体预期。** ## 报价惯例 > "4000行权价的看跌期权在22 vol交易" **"22 vol" = 22% 年化隐含波动率。** 市场惯例默认省略百分号、"年化"和"隐含"三样东西。vol 就是 volatility 的缩写，22 就是波动率数值。 报价的是波动率，结算的是美元，思考的单位始终是 vol。 ## 波动率的年化含义 "波动率20%"的数学含义：在标准正态模型下，一年后价格有约68%概率落在当前价格 $\pm 20%$ 范围内。 $$ \sigma_{\text{daily}} = \frac{\sigma_{\text{annual}}}{\sqrt{252}} \approx \frac{20%}{15.87} \approx 1.26%$ ## 两种波动率 ### Realized Volatility（已实现波动率） **回顾性。** 取过去某段时间每日对数收益率 $r_i = \ln(S_i/S_{i-1})$ 的标准差，乘以 $\sqrt{252}$ 年化。告诉你过去价格实际波动了多少。 ### Implied Volatility（隐含波动率） **前瞻性。** 从期权市场价格中反推。不是某个人的预测，而是成千上万参与者通过买卖形成的共识估计。 ### 核心张力 做市商卖出期权收到的权利金对应某个 implied vol；存续期内 delta 对冲的损益取决于 realized vol。 - Realized < Implied → 做市商赚钱 - Realized > Implied → 做市商亏钱 **Variance Risk Premium（方差风险溢价）**： implied vol 在均值上倾向于高于随后的 realized vol。期权买方统计上为保护支付了溢价——类似保险费高于预期赔付。 ## 关于 $r$ 的实践处理 模型写下一个 $r$，但现实中利率是一条**收益率曲线 (yield curve)**——不同期限对应不同利率，曲线自身每天移动。 实践做法：**为每份期权选取与其剩余期限匹配的利率**（从 OIS 曲线或国债收益率读取），所以 $r$ 不是"一个数"，而是每份期权各自对应的一个数。 **但期权价格对 $r$ 的敏感度（$\rho$, rho）在绝大多数情况下很小。** 短期期权中，利率变动1%的影响可能只有几 cent，而波动率变动1%的影响是几十 cent 到几美元。$r$ 是五个输入中影响最小的，这也是为什么当常数处理几乎不造成问题。 例外：**长期期权 + 利率剧烈波动时期。** 加密市场中无真正"无风险利率"，通常用稳定币借贷利率或资金费率替代，波动幅度远大于国债。 ## 波动率在期权之外的推广 **已实现波动率作为统计量是完全通用的**，不依赖期权的存在。任何有价格序列的资产（BTC, ETH, perpetual 标的）都可以用相同方法计算。 **隐含波动率是期权特有概念**——定义依赖 BS 公式的逆运算，无期权市场则无隐含波动率。 ### Perpetual 市场中波动率的角色 Perpetual 没有期权，但波动率以隐性方式深度嵌入： - **Funding rate** 的波动和偏移 - **清算阈值**和**维持保证金率**的设定（背后逻辑：正常波动率下价格在一个清算周期内超过阈值的概率足够低） - **仓位规模**的决策 ### 加密期权市场的存在 Deribit 等交易所有 BTC/ETH 期权市场 → 隐含波动率可观察 → 可以与 perpetual 市场标的的已实现波动率比较 → **方差风险溢价逻辑同样适用。** ### 前沿方向 部分 DeFi 协议尝试创造**直接对已实现波动率定价的可交易合约**（类似传统金融中的 variance swap），波动率从描述性统计量变成**可买卖的资产**。